Question

已知函数f（x）=2lnx-x²．
（1）求函数f（x）在[

1

2

，2]的最大值；
（2）求证：

n

k=1

2ⁿ•ln（1+2^-n）＜n+

1

2

（n∈N^*）；
（3）若关于x的方程f（x）=-x²-2x-2+me^x有唯一实数根，求实数m范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′(x)=

2

x

-2x=

2-2x2

x

，x＞0．由f′（x）=0，得x=1，由经能求出函数f（x）在[

1

2

，2]的最大值．
（2）由（1）知2lnx＜x²-1，令x=1+2^-n，则2ⁿln（1+2^-n）＜1+2^-n-1．由此能证明

n

k=1

2ⁿ•ln（1+2^-n）＜n+

1

2

（n∈N^*）．
（3）2ln^x+2x+2=me^x，设k（x）=

2lnx+2x+2

ex

=m，由导数性质得到k（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，由此能求出实数m范围．

解答： （1）解：∵f（x）=2lnx-x²，∴f′(x)=

2

x

-2x=

2-2x2

x

，x＞0．
由f′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍），
列表讨论：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f’（x）	+	0
f（x）	↑	极大值	↘

∵f（

1

2

）=2ln

1

2

-

1

4

，f（1）=-1，f（2）=2ln2-4，
∴函数f（x）在[

1

2

，2]的最大值为-1．
（2）由（1）知2lnx-x²＜-1，
∴2lnx＜x²-1，
令x=1+2^-n，2ln（1+2^-n）＜（1+2^-n）²-1=2•2^-n，
∴2ⁿln（1+2^-n）＜1+2^-n-1．

故 n k=1 2nln(1+2-n)＜n+2-2+2-3…+2-n-1 =n+ ( 1 2 )2(1-( 1 2 )n-1) 1- 1 2 =n+ 1 2 (1-( 1 2 )n-1) ＜n+ 1 2

（3）∵f（x）=-x²-2x-2+mx，∴2ln^x+2x+2=me^x，
设k（x）=

2lnx+2x+2

ex

=m，
则k′(x)=

2 x -2lnx-2x

ex

=

2( 1 x -x)-2lnx

ex

，k′（1）=0，
当x∈（0，1）时，

1

x

-x＞0，-2lnx＞0，k′（x）＞0；
当x∈（1，+∞），

1

x

-x＜0，-2lnx＜0，k′ (x)＜0；
∴k（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
当x→+∞时，k（x）→0；当x→0时，k（x）→-∞．
∴m∈（-∞，0]．

点评：本题考查函数的最大值的求法，考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．