Question

已知（x+

m

x

）ⁿ展开式的二项式系数之和为256．
（1）求n；
（2）若展开式中常数项为

35

8

，求m的值；
（3）若（x+m）ⁿ展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）根据二项式系数之和为2ⁿ=256，可得n的值．
（2）二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为

35

8

，求得m的值．
（3）易知m＞0，设第r+1项系数最大．则

C r 8 mr≥ C r-1 8 mr-1 C r 8 mr≥ C r+1 8 mr+1.

，化简，根据只有第6项和第7项系数最大，求得m的值．

解答： 解：（1）二项式系数之和为2ⁿ=256，可得n=8．
（2）设常数项为第r+1项，则Tr+1=

C

r 8

x8-r(

m

x

)r=

C

r 8

mrx8-2r，
故8-2r=0，即r=4，
则

C

4 8

m4=

35

8

，解得m=±

1

2

．
（3）易知m＞0，设第r+1项系数最大．
则

C r 8 mr≥ C r-1 8 mr-1 C r 8 mr≥ C r+1 8 mr+1.

化简可得

8m-1

m+1

≤r≤

9m

m+1

．
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以

4＜ 8m-1 m+1 ≤5 6≤ 9m m+1 ＜7.

，即

5 4 ＜m≤2 2≤m＜ 7 2 .

，
所以m只能等于2．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．