Question

已知向量

m

=（cosωx，1），

n

=（

3

，sinωx）（ω＞0），函数f（x）=

m

•

n

，且f（x）图象上一个最高点为P（

π

12

，2），与P最近的一个最低点的坐标为（

7π

12

，-2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间[0，

π

2

]上的解的个数；
（3）在锐角△ABC中，若cos（

π

3

-B）=1，求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两个向量的数量积公式、两角和的正弦公式求得函数f（x）=2sin（ωx+

π

3

），根据周期求出ω，可得
f（x）的值域．
（2）求出f（x）=2sin（2x+

π

3

）的值域，分类讨论a的范围，可得方程f（x）=a在区间[0，

π

2

]上的解的个数．
（3）由条件求得

π

6

＜A＜

π

2

，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=

m

•

n

=

3

cosωx+sinωx
=2sin（ωx+

π

3

），
再根据

T

2

=

1

2

（

7π

12

-

π

12

），∴T=π=

2π

ω

，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

3

），x∈[0，

π

2

]，
∴f（x）∈[-

3

，2]，如图所示：
故由图象知，①当a=2或-

3

≤a＜

3

时，
函数y=f（x）的图象和直线y=a有一个交点，
方程f（x）=a 有唯一解，
②当

3

≤a＜2时，函数y=f（x）的图象和直线y=a有两个交点，方程f（x）=a 有两解；
当a＞2 或a＜-

3

时，函数y=f（x）的图象和直线y=a没有交点，方程f（x）=a 没有解．
（3）∵B=

π

3

，A+B＞

π

2

，0＜A＜

π

2

，∴

π

6

＜A＜

π

2

，
∴2A+

π

3

∈（

2π

3

，

4π

3

），∴f（A）=2sin（2A+

π

3

）∈（-

3

，

3

），
即f（A）的范围为 （-

3

，

3

）．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，方程的解得个数判断，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．