Question

已知圆C的方程是x²+y²-2x-4y+m=0
（1）若圆C的半径为2，求m的值；
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于P，Q两点，且|PQ|=

4 5

5

，求m的值；
（3）在（2）的条件小，从圆C外一点M（a，b）向圆做切线MT，T为切点，且|MT|=|MO|（O为原点），求|MO|的最小值．

Answer 1

考点：圆的一般方程,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）将圆C的方程x²+y²-2x-4y+m=0配方，能求出m=1．
（2）圆C的方程化为（x-1）²+（y-2）²=5-m，得圆心C（1，2），r=

5-m

，利用圆C到直线l：x+2y-4=0的距离，能求出m=4．
（3）由（2）知圆的方程（x-1）²+（y-2）²=1，从而得到a+2b-2=0，|MO|²=a²+b²，由此当|MO|²=a²+b²与直线a+2b-2=0相切时，能求出|MO|的最小值．

解答： 解：（1）将圆C的方程x²+y²-2x-4y+m=0
配方，得（x-1）²+（y-2）²=5-m，其中半径
r=

5-m

，…（2分）
当圆半径为2，即5-m=4，得m=1．…（4分）
（2）圆C的方程化为（x-1）²+（y-2）²=5-m，
得圆心C（1，2），r=

5-m

，
圆C到直线l：x+2y-4=0的距离为
d=

|1+2×2-4|

5

=

1

5

，又|PQ|=

4 5

5

，
由r2=d2+(

|PQ|

2

)2，即5-m=（

1

5

）²+（

2 5

5

）²，
解得m=4．…..（9分）
（3）由（2）知圆的方程为x²+y²-2x-4y+4=0，
配方得（x-1）²+（y-2）²=1，
|MT|²=|MC|²-|CT|²=（a-1）²+（b-2）²=1，
又|MT|=|MO|，∴|MT|²=|MO|²，
∴a²+b²=（a-1）²+（b-2）²-1，
化简，得a+2b-2=0，|MO|²=a²+b²，
当|MO|²=a²+b²与直线a+2b-2=0相切时，
|MO|最小值为

2

5

=

2 5

5

．

点评：本题考查满足条件的实数的求法，考查线段的最小值的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．