Question

设f（x）=x³-3x（x∈R）．
（1）求函数y=f（x）的极值并作出函数的图象（要求标明极值点以及与坐标轴的交点）；
（2）若方程f（x）-a=0有2个相异的实数根，求实数a．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据函数极值和函数导数之间的关系，即可求函数y=f（x）的极值；
（2）利用数形结合即可求出a的取值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=3x²-3＞0，解得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，
当f′（x）＜0，即-1＜x＜1时．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	单调递增	2	单调递减	-2	单调递增

因此，当x=-1时，f（x）有极大值，且极大值为f（-1）=2；
当x=1时，f（x）有极小值，且极小值为f（1）=-2，
由f（x）=x³-3x=0，解得x=0，x=±

3

，即交点坐标为（0，0），（

3

，0），（-

3

，0）．
则函数的图象如图：
（2）若方程f（x）-a=0有2个相异的实数根，
即等价为a=f（x）有两个相异的实数根，
则a=2或a=-2．

点评：本题主要考查函数极值的求解，利用函数极值和函数导数之间的关系是解决本题的关键．