Question

若对任意a，b，c∈R⁺，且a²+b²+c²=1，求证：a+b+

2

c≤2．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：不等式的解法及应用

分析：利用分析法证明不等式，对不等式两边平方，通过已知条件以及基本不等式证明即可．

解答： 解：原不等式等价于（a+b+

2

c）²≤4…（2分）
即证a²+b²+2c²+2ab+2

2

ac+2

2

bc≤4…（4分）
即证c²+2ab+2

2

ac+2

2

bc≤3…（6分）
又c²+2ab+2

2

ac+2

2

bc≤c²+a²+b²+（

2

a）²+（

2

b）²+c²=3成立，
当且仅当a=b=

c

2

时，等号成立．…（11分）
所以a+b+

2

c≤2…（12分）

点评：本题考查不等式的证明，分析法证明方法的应用，考查分析问题解决问题的能力．