Question

已知函数f（x）=xlnx（x＞0）
（1）试求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若g（x）=f′（x），直线y=kx+b与曲线g（x）相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）不同两点，若x₀=

x1+x2

2

试证明k＞g′（x₀）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的几何意义,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（1）f'（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得：x=

1

e

，从而求出单调区间和极值；
（2）g（x）=f'（x）=lnx+1，令x₁＞x₂＞0，通过构造新函数F（x）=g（x₁）-g（x₂）-

2(x1-x2)

x1+x2

，整理证出即可．

解答： 解：（1）f'（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，解得：x=

1

e

，
∴减区间是(0，

1

e

]，增区间是[

1

e

，+∞)f极小值(

1

e

)=-

1

e

；
（2）g（x）=f'（x）=lnx+1，
令x₁＞x₂＞0，k=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

，g′(x0)=

2

x1+x2

构造函数F(x)=g(x1)-g(x2)-

2(x1-x2)

x1+x2

=lnx1-lnx2-

2(x1-x2)

x1+x2

，
同除x₂F(x)=ln

x1

x2

-

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，
令

x1

x2

=t，
则h(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，(t＞1)，
h′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴h（t）＞h（1）=0，
∴F（x）＞0，k＞g'（x₀）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，新函数的构造，是一道综合题．