Question

已知数列{a_n}满足：a_n+1=-

1

2

a_n+

3

2

（n∈N^*），a₁=4，S_n是其前n项和，则满足不等式|S_n-n-2|＜

1

2014

的最小正整数n的值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：求出数列的通项公式，以及数列的前n项和，解不等式即可得到结论．

解答： 解：∵a_n+1=-

1

2

a_n+

3

2

（n∈N^*），
∴a_n+1-1=-

1

2

（a_n-1）（n∈N^*），
即{a_n-1}是以a₁-1=4-1=3为首项，公比q=-

1

2

，的等比数列，
则a_n-1=3•（-

1

2

）^n-1，
则a_n=3•（-

1

2

）^n-1+1，
则S_n=n+

3(1-(- 1 2 )n)

1+ 1 2

=n+2-2（-

1

2

）ⁿ，
则|S_n-n-2|=|2•（-

1

2

）ⁿ|=2•(

1

2

)n=(

1

2

)n-1，
若|S_n-n-2|＜

1

2014

，则(

1

2

)n-1＜

1

2014

，
即2^n-1＞2014，
则n-1≥11，
即n≥12，
故答案为：12

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列的前n项和的计算，利用构造法是解决本题的关键．