Question

【题目】已知函数，，.

（1）若函数存在零点，求的取值范围；

（2）已知函数，若在区间上既有最大值又有最小值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）先由求得，，由基本不等式求出的值域，根据题意，只需在的值域范围内即可；

（2）先由题意，得到要使在区间上有最大值，则必须在上取得最大值，列出不等式，求出，判断出，从而得到要使在区间上存在最小值，必须有，进一步求得，令，此时 ，根据，得出，判断出函数单调性，从而可得出结果.

（1）令，即，解得：，，

又，当时，，

当且仅当，即时，等号成立；

当时，；

当且仅当，即时，等号成立；

所以；

要使函数存在零点，只需或

即或

（2）由（1）知：函数在区间有最小值，无最大值；

而二次函数在对称轴处取得最大值；

因此要使在区间上有最大值，则必须在上取得最大值，

因此，即，解得；

当时，，

所以要使在区间上存在最小值，必须有，

即，解得；

当时，，，

令，有，此时；

又由得，，

在上存在，使，

在上递增，上递减，上递增；

在上单调递减，；

在区间有最大值，最小值；

即当时，在区间上既有最大值又有最小值.