Question

7．函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（　　）

• A． f（x）是偶函数
• B． f（x）是奇函数
• C． f（x）=f（x+1）
• D． f（x+3）是奇函数

Answer 1

分析 首先由奇函数性质求f（x）的周期以及对称中心，然后利用所求结论来分别判断四个选项即可

解答 解：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，则f（x）可为奇函数如f（x）=sin（πx）；也可以为偶函数如y=cos$\frac{πx}{2}$，满足函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，故选项A、B错；
又因为函数f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函数，故选项C错；
∵f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），即f（-x+3）=-f（x+3），
∴f（x+3）是奇函数，故选项D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查抽象函数中一些主条件的变形，来考查函数有关性质，方法往往是紧扣性质的定义．