Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos4x-sin4x．
（1）求函数f（x）最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上的单调性及值域．

Answer 1

分析 （1）运用两角和的余弦函数公式和周期公式，即可得到结论．
（2）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，可得4x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用余弦函数的图象和性质即可解得函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上的单调性及值域．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$cos4x-sin4x=2cos（4x+$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，4x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴当4x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，0]时，即x∈[-$\frac{π}{12}$，-$\frac{π}{24}$]时，函数f（x）单调递增；
当4x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{5π}{6}$]时，即x∈[-$\frac{π}{24}$，$\frac{π}{6}$]，函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上的值域为：[-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查了两角和的余弦函数公式和周期公式，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．