Question

如图，四边形ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，F是线段BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求异面直线PB与DF所成角．

Answer 1

解：（1）连接AF，
∵PA⊥平面ABCD，DF⊆平面ABCD，∴PA⊥DF
∵Rt△ABF中，AB=BF=1，∴AF==，同理可得DF=
∴△ADF中，AF²+DF²=4=AD²，可得AF⊥DF
∵AF、PA是平面PAF内的相交直线，∴DF⊥平面PAF
∵PF?平面PAF，
∴PF⊥FD
（2）取AD中点E，连接PE、BE
∵DE∥BF且DE=BF=AB
∴四边形BEDF是平行四边形
所以BE∥DF，可得∠PBE或其补角是异面直线PB与DF所成的角．
∵PA⊥平面ABCD，∴AB是PB在平面ABCD内的射影，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角
∴Rt△PAB中，∠PBA=45°，可得PA=AB=1，PB=AB=
又∵Rt△EAB中，AB=AE=1，
∴BE==，同理PE=
∴△PBE是边长等于的等边三角形，故∠PBE=60°
因此，异面直线PB与DF所成的角等于60°．
分析：（1）连接AF，在△ADF中利用勾股定理的逆定理，得AF⊥DF，结合PA⊥平面ABCD，得PA⊥DF，利用线面垂直的判定定理，可证出DF⊥平面PAF，所以有PF⊥FD成立；
（2）取AD中点E，连接PE、BE．平行四边形BEDF中，BE∥DF，可得∠PBE或其补角是异面直线PB与DF所成的角．根据PB与平面ABCD所成的角为45°，可得△PAB是等腰直角三角形，从而PB=，同理BE=，PE=，得到△PBE是边长等于的等边三角形，故∠PBE=60°，所以异面直线PB与DF所成的角等于60°．
点评：本题借助于一个特殊的四棱锥，求证线面垂直并且求异面直线所成角，着重考查了线面垂直的判定与性质、异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于基础题．