Question

已知等比数列{a_n}中a₃=1，则其前5项的和S₅的取值范围是（　　）

• A．[1，+∞）
• B．[-

  5

  4

  ，+∞)
• C．[5，+∞）
• D．（-∞，0）∪[5，+∞）

Answer 1

分析：设公比为q，则S₅=

1

q2

+

1

q

+1+q+q²=（

1

q2

+q²）+（

1

q

+q）+1，利用基本不等式或函数法求取值范围即可．

解答：解：设公比为q，则S₅=

1

q2

+

1

q

+1+q+q²=（

1

q2

+q²）+（

1

q

+q）+1
当q＞0时，S₅≥2

1 q2 •q2

+2

1 q • q

+1=5，当且仅当q=1时，取到最小值5，∴S₅∈[5，+∞）
当q＜0时，令

1

q

+q=t（≤-2），则S₅=t²+t-1，在t≤-2上是减函数，当t=-2时取得最小值1，∴S₅∈[1，+∞）
S₅∈[1，+∞）∪[5，+∞）=[1，+∞）．
故选A．

点评：本题考查等比数列通项公式，基本不等式求最值、二次函数的性质，换元法．