Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx-$\frac{1}{2}$cos2x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（C）=1，B=30°，c=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用两角差的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），结合正弦函数的性质及周期公式即可得解．
（2）由已知可得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，可求范围-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，进而可求C，B，A，解得b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为13分）
解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）…4分
∵x∈R，∴f（x）的最小值为-1…5分
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π…6分
（2）∵f（C）=1，
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜2C＜2π，可得：-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{3}$…8分
∵B=$\frac{π}{6}$，可得：A=$\frac{π}{2}$，
∵c=2$\sqrt{3}$，可得：b=2，…12分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$．…13分

点评 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，周期公式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．