Question

10．某情报站有A，B，C，D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是$\frac{61}{243}$．（用最简分数表示）

Answer 1

分析 由题意可得，第n+1周也使用A种密码的概率 P_n+1=P_n•$\frac{1}{3}$，且P₂=0，P₃=$\frac{1}{3}$，以此类推可得第七周使用A的概率P₇ 的值．

解答 解：第一周使用A，第二周使用A的概率P₂=0，第三周使用A的概率P₃=$\frac{1}{3}$，依此类推，
第四周使用A的概率 P₄=（1-$\frac{1}{3}$）•$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$，
第五周使用A的概率P₅=（1-$\frac{2}{9}$）•$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{27}$，
第六周使用A的概率P₆=（1-P₅）•$\frac{1}{3}$=$\frac{20}{81}$，
第七周使用A的概率P₇=（1-P₆）•$\frac{1}{3}$=$\frac{61}{243}$．
故答案为$\frac{61}{243}$．

点评 此题主要考查了概率公式，得到第n+1周也使用A种密码的概率 P_n+1=P_n•$\frac{1}{3}$是解题的关键，属于中档题．