Question

【题目】以 A 为圆心， 以为半径的圆外有一点 B ， 已知 =2sinθ.设过点B且与⊙A 外切于点T的圆的圆心为 M.

（1）当 θ取某个值时， 说明点 M 的轨迹P 是什么曲线；

（2）点M 是轨迹 P上的动点， 点N 是 ⊙A上的动点， 把的最小值记为（不要求证明）， 求的取值范围；

（3）若将题设条件中的θ的范围改为，点 B 的位置改为⊙A内 ， 其它条件不变，点 M的轨迹记为 P .试提出一个和（2）具有相同结构的有意义的问题（不要求解答）.

Answer 1

【答案】(1) 点 M 的轨迹是以A、B 为焦点， 实轴长为2cos θ的双曲线的 靠近焦点B 的一支.(2) (3)见解析

【解析】

（1）如图，连 MT 、MA 、MB ， 显然 M 、T 、A 三点共线， 且.

又，故，其中

故点 M 的轨迹是以A、B 为焦点， 实轴长为2cos θ的双曲线的 靠近焦点B 的一支.

（2）显然， 的最小值即为如图 所示的 （N 和 T 重合）.

.

故.

由，知，由此得.

（3）设点 M是轨迹P上的动点， 点N是⊙A上的动点， 把 的最大值记为.求的取值范围.