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    【题目】已知点满足，则满足条件的所形成的平面区域的面积为①________，的最大值为②________

    【答案】

    【解析】

    由，得的圆心是在以原点为圆心，以1为半径的圆上运动，进而得出点的轨迹是一个以原点为圆心，以2为半径的圆面，利用圆的面积公式即可求出点所形成的平面区域的面积；利用线性规划，即可求得的最大值.

    设圆的圆心为，则的坐标为，

    因为，

    所以圆心是在以原点为圆心，以1为半径的单位圆上，

    所以点在一个半径为1的圆上，这个圆的圆心又在单位圆上运动，(如图1)，

    所以点的轨迹是一个圆面，这个圆面是以原点为圆心，以2为半径的圆面（包括边界，如图2）

    即，

    所以点所形成的平面区域的面积为.

    ，

    所以

    所以，由线性规划知，的最大值为.

    ；.

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    【题目】已知函数.

    （1）当时，判断函数的单调性；

    （2）当有两个极值点时，若的极大值小于整数，求的最小值.

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    【题目】健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：

    消费次数

    第1次

    第2次

    第3次

    不少于4次

    收费比例

    0.95

    0.90

    0.85

    0.80

    现随机抽取了100位会员统计它们的消费次数，得到数据如下：

    消费次数

    1次

    2次

    3次

    不少于4次

    频数

    60

    25

    10

    5

    假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题：

    （1）估计1位会员至少消费两次的概率

    （2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；

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    【题目】《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.

    (1)求证:四棱锥为阳马;

    (2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值.

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    【题目】2020年春季，某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为万元/辆和万元/辆的两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车车型使用寿命频数表如下：

    （1）填写下表，并判断是否有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？

    （2）从和的车型中各随机抽取车，以表示这车中使用寿命不低于年的车数，求的分布列和数学期望；

    （3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租车每年上交公司万元，其余维修和保险等费用自理.假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？

    附：，.

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

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    【题目】我们打印用的A4纸的长与宽的比约为，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为（ ）

    A.B.C.D.

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    【题目】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2．

    （1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

    （2）曲线C2上两点与点B（ρ2，α），求△OAB面积的最大值．

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    【题目】数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动.

    某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数，如下表：

    场次

    第一场

    第二场

    第三场

    第四场

    第五场

    甲

    28

    33

    36

    38

    45

    乙

    39

    31

    43

    39

    33

    （1）根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图；

    （2）求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；

    （3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.

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    【题目】已知函数，证明.

    （1）存在唯一的极小值点；

    （2）的极小值点为则.

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