【题目】已知,函数.
(1)求证:曲线在点处的切线过定点;
(2)若是在区间上的极大值,但不是最大值,求实数的取值范围;
(3)求证:对任意给定的正数,总存在,使得在上为单调函数.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)求出切点坐标及切线方程,切线恒过定点即与参数无关,令系数为,可得定点坐标;(2),要使成为极大值,因此,又不是最大值,而在单增,单减,单增,因此,可求得的范围;(3)在单增,单减,单增,又,所以要使在单调,只需,即,故存在.
试题解析:解:(1)证明:∵,∴
∵,∴曲线在点处的切线方程为,
即,令,则,
故曲线在点处的切线过定点
(2)解: ,
令得或
∵是在区间上的极大值,∴,∴
令,得或递增;令,得递减,
∵不是在区间上的最大值,
∴在区间上的最大值为,
∴,∴,又,∴
(3)证明: ,
∵,∴
令,得或递增;令,得递减,
∵,∴
若在上为单调函数,则,即
故对任意给定的正数,总存在(其中),使得在上为单调函数
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【题目】如图,在五棱锥中,平面平面,且.
(1)已知点在线段上,确定的位置,使得平面;
(2)点分别在线段上,若沿直线将四边形向上翻折,与恰好重合,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】关于函数,有下列结论:
①的最大值为;
②的最小正周期是;
③在区间上是减函数;
④直线是函数的一条对称轴方程.
其中正确结论的序号是__________.
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【题目】在研究色盲与性别的关系调查中,调查了男性480人,其中有38人患色盲,调查的520个女性中6人患色盲.
(Ⅰ)根据题中数据建立一个的列联表;
(Ⅱ)在犯错误的概率不超过0.001的前提下,能否认为“性别与患色盲有关系”?
附:参考公式,
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线, 极坐标方程分别为, .
(Ⅰ)和交点的极坐标;
(Ⅱ)直线的参数方程为(为参数),与轴的交点为,且与交于, 两点,求.
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【题目】如图,在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水(未满),现将容器底面一边固定在底面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四种说法:
①水的部分始终呈棱柱状;
②水面四边形的面积为定值;
③棱始终与水面平行;
④若, ,则是定值.
则其中正确命题的个数的是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】“真人秀”热潮在我国愈演愈烈,为了了解学生是否喜欢某“真人秀”节目,在某中学随机调查了110名学生,得到如下列联表:
男 | 女 | 总计 | |
喜欢 | 40 | 20 | 60 |
不喜欢 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
由算得.
附表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确结论是( )
A. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“喜欢该节目与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“喜欢该节目与性别无关”
C. 有以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”
D. 有
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