Question

已知函数f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x）+

3

sinxcosx+

1

4

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）若f(θ+

π

12

)=

1

3

，θ∈(

π

4

，

π

2

)，求sin2θ的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得f（x）=sin（2x+

π

6

），从而可求得函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）依题意知，sin（2θ+

π

3

）=

1

3

，利用同角三角函数间的关系式可求得cos（2θ+

π

3

）=-

2 2

3

，利用两角差的正弦即可求得sin2θ的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（cos

π

3

cosx-sin

π

3

sinx）（cos

π

3

cosx+sin

π

3

sinx）+

3

2

sin2x+

1

4

=

1

4

cos²x-

3

4

sin²x+

3

2

sin2x+

1

4

=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x
=sin（2x+

π

6

），
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，最大值为1；
（Ⅱ）f（θ+

π

12

）=

1

3

，即sin（2θ+

π

3

）=

1

3

，
∵θ∈(

π

4

，

π

2

)，2θ+

π

3

∈（

5π

6

，

4π

3

），
∴cos（2θ+

π

3

）=-

1-( 1 3 )2

=-

2 2

3

，
∴sin2θ=sin（2θ+

π

3

-

π

3

）
=sin（2θ+

π

3

）cos

π

3

-cos（2θ+

π

3

）sin

π

3

=

1

3

×

1

2

-（-

2 2

3

）×

3

2

=

1+2 6

6

．

点评：本题考查三角恒等变换应用，着重考查三角函数的周期性、最值及其求法，考查同角三角函数间的关系式与两角差的正弦的综合应用，属于中档题．