Question

如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．
（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；
（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：概率与统计

分析：（1）设A_i表示事件“此人于2月i日到达该市”依题意知p（A_i）=

1

12

，设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂，由此能求出此人到达当日空气质量重度污染的概率．
（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．

解答： 解：（1）设A_i表示事件“此人于2月i日到达该市”（i=1，2，…，12）．
依题意知，p（A_i）=

1

12

，且A_i∩A_j=Φ（i≠j）．（2分）
设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，
则B=A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂，
所以P（B）=（A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂）
=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）+P（A₇）+P（A₁₂）=

5

12

．
即此人到达当日空气质量重度污染的概率为

5

12

．（5分）
（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，（6分）
P（ξ=0）=P（A₄∪A₈∪A₉）=P（A₄）+P（A₈）+P（A₉）=

1

4

，（7分）
P（ξ=2）=P（A₂∪A₁₁）=P（A₂）+P（A₁₁）=

1

6

，（8分）
P（ξ=3）=P（A₁∪A₁₂）=P（A₁）+P（A₁₂）=

1

6

，（9分）
P（ξ=1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=1-

1

4

-

1

6

-

1

6

=

5

12

，（10分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 4	5 12	1 6	1 6

（11分）
故ξ的期望Eξ=0×

1

4

+1×

5

12

+2×

1

6

+3×

1

6

=

5

4

．（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．