Question

如图，△ABC中．角A、B、C所对边的长分别为a、b、c满足c=l，a²+b²=ab+1，以AB为边向△ABC外作等边三角形△ABD．
（1）求∠ACB的大小；
（2）设∠ABC=θ，|CD|²=f（θ）．试求函数f（θ）的最大值及f（θ）取得最大值时的θ的值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：综合题,解三角形

分析：（1）利用余弦定理，可求∠ACB的大小；
（2）由正弦定理，求出a，可得|CD|²=f（θ），利用辅助角公式化简，即可求出函数f（θ）的最大值及f（θ）取得最大值时的θ的值．

解答： 解：（1）在△ABC中，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-1

2ab

=

1

2

∴∠ACB=

π

3

…（4分）
（2）由正弦定理知a=

c•sin( 2π 3 -θ)

sin π 3

=

2

3

sin(

2π

3

-θ)…（6分）
∴f(θ)=a2+1-2a•cos(

π

3

+θ)=

4

3

sin2(

π

3

+θ)+1-2×

2

3

sin(

π

3

+θ)cos(

π

3

+θ)
=

2

3

[1-cos(

2π

3

+2θ)]-

2

3

sin(

2π

3

+2θ)+1
=

5

3

-

2

3

[

3

sin(

2π

3

+2θ)+cos(

2π

3

+2θ)]
=

5

3

-

4

3

sin(

5π

6

+2θ)…（10分）
由于θ∈(0，

2π

3

)，故仅当θ=

π

3

时，f（θ）取得最大值3．…（12分）

点评：本题考查余弦定理，考查正弦定理，考查三角函数的化简与性质，正确化简函数是关键．