Question

下列命题中所有正确的序号是

 

．
①函数f（x）=x²-2x+a在区间（-2，0）和（2，3）内各有一个零点，则-3＜a＜0；
②已知f（x）=

(2-a)x+1， x＜1 ax， x≥1

对任意x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，那么实数a的范围是1＜a＜2；
③用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f（x）=min{2^x，x+2，10-x}（x≥0），则f（x）的最大值为6；
④若函数y=loga(x2-ax+2)在区间（-∞，1]上为减函数，则a≥2．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：数形结合,分类讨论,函数的性质及应用

分析：①利用二次函数的图象与性质和函数零点的存在定理可得；
②根据题意知，f（x）是增函数，从而求出a的取值范围；
③根据题意，画出函数y=10-x，y=x+2和y=2^x的图象，得出f（x）的图象，得到f（x）的最大值；
④根据题意，设g（x）=x²-ax+2（a＞0，且a≠1），讨论a的取值，得出满足条件的a的取值范围．

解答： 解：①∵函数f（x）=x²-2x+a在区间 （-2，0）与（2，3）上各有一个零点，
∴

f(-2)•f(0)＜0 f(2)•f(3)＜0

，
即

a(a+4)＜0 a(a+3)＜0

，
解得-3＜a＜0；
∴命题①正确．
②根据题意知，f（x）是增函数，
∴

2-a＞0 a＞1 a1＞(2-a)×1+1

，
解得

3

2

＜a＜2；
∴命题②不正确．
③根据题意，在同一坐标系中画出函数y=10-x，y=x+2和y=2^x的图象，如图；

y=x+2 与y=2^x交点是A、B，y=x+2与 y=10-x的交点为C（4，6），
由上图得出f（x）的图象如下：

C为最高点，且C（4，6），所以f（x）的最大值为6；
∴命题③正确．
④根据题意，设g（x）=x²-ax+2（a＞0，且a≠1），
当a＞1时，g（x）在（-∞，1]上为减函数，
∴

a 2 ≥1 12-a+2＞0

∴2≤a＜3；
当0＜a＜1时，g（x）在（-∞，1]上为减函数，不合题意；
∴2≤a＜3；
∴命题④不正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查了函数的概念、图象、最值、单调性以及零点的问题，也考查了分类讨论思想和数形结合的方法，是综合性题目．