Question

已知函数f（x）=x²-mx+m-1．
（1）若函数y=lgf（x）在[2，4]上有意义，求实数m的取值范围；
（2）若函数y=|f（x）|在[-1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；
（3）若对于区间[2，

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2

]内任意两个相异实数x₁，x₂，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若函数y=lgf（x）在[2，4]上有意义，则x²-mx+m-1＞0，对任意的x∈[2，4]恒成立，即m（x-1）＜x²-1对任意的x∈[2，4]恒成立，即m＜x+1对任意的x∈[2，4]恒成立，进而可得实数m的取值范围；
（2）结合函数y=|f（x）|的图象和性质，由[-1，0]上单调递减，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案；
（3）若对于区间[2，

5

2

]内任意两个相异实数x₁，x₂，且f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-m）|（x₁-x₂）（x₁+x₂-m）|≤|x₁-x₂|（x₁≠x₂）恒成立，|m-（x₁+x₂）|≤1对任意的x₁，x₂在[2，

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2

]上恒成立，则（x₁+x₂）-1≤m≤（x₁+x₂）+1恒成立，进而可得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）若函数y=lgf（x）在[2，4]上有意义，
则x²-mx+m-1＞0，对任意的x∈[2，4]恒成立，
即m（x-1）＜x²-1对任意的x∈[2，4]恒成立，
即m＜x+1对任意的x∈[2，4]恒成立，
∴m＜3
故实数m的取值范围（-∞，3）…（5分）
（2）令x²-mx+m-1=0，解得x=1或x=m-1
当m-1≥1，即m≥2时，函数f（x）在[-1，0]上恒非负且减，满足条件；
当m-1＜1，即m＜2时，若函数y=|f（x）|在[-1，0]上单调递减，
则m-1≥0或

m

2

≤-1
解得m≤-2
综上所述：m≤-2或m≥1
故实数m的取值范围（-∞，-2]∪[1，+∞）…（10分）
（3）若对于区间[2，

5

2

]内任意两个相异实数x₁，x₂，
且f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-m）|（x₁-x₂）（x₁+x₂-m）|≤|x₁-x₂|（x₁≠x₂）恒成立，…12分
则|m-（x₁+x₂）|≤1对任意的x₁，x₂在[2，

5

2

]上恒成立．
则（x₁+x₂）-1≤m≤（x₁+x₂）+1恒成立…（14分）
∴4≤m≤5
故实数m的取值范围为[4，5]…（16分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数图象的对折变换，恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．