Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和圆O：x²+y²=a²，F₁（-1，0），F₂（1，0）分别是椭圆的左、右两焦点，过F₁且倾斜角为α(α∈(0，

π

2

])的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点（如图所示，
点A在轴上方）．当α=

π

4

时，弦PQ的长为

14

．
（1）求圆O和椭圆C的方程；
（2）若点M是椭圆C上一点，求当AF₂，BF₂，AB成等差数列时，△MPQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）取PQ的中点D，连接OD，OP，求出OD，利用弦PQ的长为

14

，求出OQ，可得a，b，即可求圆O和椭圆C的方程；
（2）设|AF₂|=s，|BF₂|=t，利用AF₂，BF₂，AB成等差数列，求出t，设B（x₀，y₀），则由

(x0-1)2+y02= 64 9 x02 4 + y02 3 =1

，得B的坐标，可得PQ的方程，求出PQ，椭圆C上一点到直线PQ的距离的最大值，即可求△MPQ面积的最大值．

解答： 解：（1）取PQ的中点D，连接OD，OP，
由α=

π

4

，c=1，可得OD=

2

2

，
∵弦PQ的长为

14

，
∴OQ2=

PQ2

4

+OD2=4，
∴a²=4，b²=3，
∴圆O的方程为x²+y²=4，椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设|AF₂|=s，|BF₂|=t，则
|AF₁|+|AF₂|=2a=4，|BF₁|+|BF₂|=2a=4，
∵AF₂，BF₂，AB成等差数列，
∴2t=s+8-s-t，
∴t=

8

3

，
设B（x₀，y₀），则由

(x0-1)2+y02= 64 9 x02 4 + y02 3 =1

，得B（-

4

3

，-

15

3

），
∴k=

15

，
∴PQ：y=

15

（x+1）
∴O到PQ的距离为d=

15

4

，
∴PQ=2

4- 15 16

=

7

2

，
又∵椭圆C上一点到直线PQ的距离的最大值为

3 7 + 15

4

，
∴△MPQ面积的最大值

1

2

•

7

2

•

3 7 + 15

4

=

21 7 +7 15

16

．

点评：本题考查圆和椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．