Question

己知函数f(x)=

1-a+lnx

x

，a∈R
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）当正整数n＞8时，比较（

n

） 

n+1

与（

n+1

） 

n

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可求解
（Ⅱ）对lnx-kx＜0分离k，变形移向得出

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立．构造函数g（x）=

lnx

x

，只需g（x）max＜k．转化为求g（x）的最大值．
（Ⅲ）设a=（

n

） 

n+1

，b=（

n+1

） 

n

，分别取对数，并且

lna

lnb

=

n+1 ln n

n ln n+1

=

ln n n

ln n+1 n+1

，根据前两问研究的g（x）=

lnx

x

的单调性，判断出

ln n

n

＞

ln n+1

n+1

＞0，进而得出a＞b．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

a-lnx

x2

，令f′（x）=0得x=e^a，
当x∈（0，e^a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（e^a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
可知f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a．
（Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立．
令g（x）=

lnx

x

，只需g（x）max＜k．
g（x）=

lnx

x

，是题干中a=1时情形，由（Ⅰ）知，g（x）有最大值为f（e）=

1

e

．
所以k＞

1

e

．
（Ⅲ）设a=（

n

） 

n+1

，b=（

n+1

） 

n

，则lna=

n+1

ln

n

，lnb=

n

ln

n+1

，

lna

lnb

=

n+1 ln n

n ln n+1

=

ln n n

ln n+1 n+1

，考察函数g（x）=

lnx

x

，由（Ⅰ）可知，g（x）在（e，+∞）为减函数，
当正整数n＞8时，

n

，

n+1

∈（e，+∞），所以g（

n

）＞g（

n+1

），即

ln n

n

＞

ln n+1

n+1

＞0，
即有

lna

lnb

＞1，lna＞lnb．等价于a＞b，即（

n

） 

n+1

＞（

n+1

） 

n

．

点评：本题是函数性质的综合应用，考查函数的单调性，最值的应用，涉及到分离参数的解题方法．能够将问题转化，联系到函数的性质，是达到较高水平的体现．