Question

13．已知函数f（x）=|ax²+x-4a|，其中x∈[-2，2]，a∈[-1，1]．
（I）当α=1时，求函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）记f（x）的最大值为M（a），求M（a）的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出当α=1时，f（x）=|x²+x-4|，x∈[-2，2]，解方程可得两根，再由f（x）的单调性，可得值域；
（Ⅱ）设f（x）=0的两根为x₁，x₂，（x₁＜x₂），对a讨论，当-1≤a≤-$\frac{1}{4}$时，当-$\frac{1}{4}$＜a≤0时，当0＜a≤$\frac{1}{4}$时，当$\frac{1}{4}$＜a≤1时，运用单调性可得最大值，再由基本不等式和单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（I）当α=1时，f（x）=|x²+x-4|，x∈[-2，2]，
由x²+x-4=0，解得x=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$，
由f（x）在[-2，-$\frac{1}{2}$]递增，在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）递减，
在（$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$，2]递增，可得
f（x）的最小值为0，由f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{17}{4}$，f（2）=4，
最大值为$\frac{17}{4}$．
则f（x）的值域为[0，$\frac{17}{4}$]；
（Ⅱ）设f（x）=0的两根为x₁，x₂，（x₁＜x₂），
当-1≤a≤-$\frac{1}{4}$时，f（x）在（-2，x₁）递减，（x₁，-$\frac{1}{2a}$）递增，（-$\frac{1}{2a}$，2）递减，
可得f（x）在x=-$\frac{1}{2a}$处取得最大值，且为-$\frac{16{a}^{2}+1}{4a}$；
当-$\frac{1}{4}$＜a≤0时，f（x）在（-2，x₁）递减，（x₁，2）递增，
可得f（x）在x=±2处取得最大值2；
当0＜a≤$\frac{1}{4}$时，f（x）在（-2，x₂）递减，（x₂，2）递增，可得f（x）在x=±2处取得最大值2；
当$\frac{1}{4}$＜a≤1时，f（x）在（-2，-$\frac{1}{2a}$）递增，（-$\frac{1}{2a}$，x₂）递减，（x₂，2）递增，
可得f（x）在x=-$\frac{1}{2a}$处取得最大值，且为$\frac{16{a}^{2}+1}{4a}$．
即有M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1+16{a}^{2}}{4a}，-1≤a≤-\frac{1}{4}}\\{2，-\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{4}}\\{\frac{16{a}^{2}+1}{4a}，\frac{1}{4}＜a≤1}\end{array}\right.$，
当-1≤a≤-$\frac{1}{4}$时，M（a）=（-4a）+$\frac{1}{-4a}$在[-1，-$\frac{1}{4}$]递减，可得M（a）∈[2，$\frac{17}{4}$]；
当$\frac{1}{4}$＜a≤1时，M（a）=4a+$\frac{1}{4a}$递增，可得M（a）∈[2，$\frac{17}{4}$]．
综上可得，M（a）的取值范围是[2，$\frac{17}{4}$]．

点评 本题考查含绝对值函数的值域的求法，注意运用函数的单调性和对称轴与区间的关系，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数的单调性及对称轴和区间的关系，属于难题．