Question

已知f(x)=xlnx.
（I）求f(x)在[t，t+2]（t>0）上的最小值；
（Ⅱ）证明：都有。

Answer 1

（I）（Ⅱ）详见解析.

试题分析：
（I）本小题首先根据函数的导函数，通过其分析函数的单调性，从而可得其在区间上的单调性，然后可求其最小值
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，当时， 的最小值为，于是把问题等价于证明，然后利用导数分析其函数的单调性，进而求得最值，便可证明。
试题解析：
（Ⅰ）解：，令.
当单调递减；
当单调递增.
因为，
（1）当0＜t＜时；
（2）当t≥时，
所以 
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，
的最小值为
于是问题等价于证明
设
则，易得
从而对一切，都有成立