Question

已知|

a

|=6 ， |

b

|=4，且

a

与

b

不共线．
（1）若

a

与

b

的夹角为60⁰，求( 

a

+2

b

 )•( 

a

-3

b

 )；
（2）若向量

a

+k 

b

与向量

a

-k 

b

垂直，求k的值．

Answer 1

分析：（1）本小题考查数量积的运算，根据向量的数量积运算及数量积公式求(

a

+2

b

)•(

a

-3

b

)的值；
（2）本题考查数量积与垂直的对应关系，两向量垂直，则数量积为0，由此建立方程求出k的值．

解答：解：（1）因为|

a

|=6 ， |

b

|=4，且

a

与

b

的夹角为60⁰．
所以( 

a

+2

b

 )•( 

a

-3

b

 )=|

a

| 2-

a

•

b

-6|

b

| 2=62-6×4×

1

2

-6×42=-72…（6分）
（2）∵向量

a

+k 

b

与向量

a

-k 

b

垂直．
∴（

a

+k 

b

）•（

a

-k 

b

）=0，即…（8分）
|

a

| 2-k 2•|

b

| 2=36-16k 2=0，
从而k=±

3

2

．…（12分）

点评：本题考查数量积运算与向量垂直的条件，是向量中综合性较强的题，熟练掌握向量数量积的运算及数量积的意义是解本题的关键，数量积与向量垂直关系的对应是向量的一个重要应用．