Question

已知二次函数f（x）的最小值1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[-1，3]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设出S（x）=f（x）-3，利用函数的最小值，求出f（x）的解析式；
（2）通过f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，说明对称轴在求解内部，然后求实数a的取值范围；
（3）在区间[-1，3]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，直接利用二次函数闭区间上的最值求解即可．

解答： 解：（1）设S（x）=f（x）-3=a（x-0）（x-2），
∴f（x）=ax（x-3）+3，
∴f（x）=ax²-2ax+3，
又

12a-4a2

4a

=3-a=1⇒a=2，
∴f（x）=2x²-4x+3；
（2）由对称轴x=1，
∴

3a＜1 a+1＞1

⇒0＜a＜

1

3

，
（3）x∈[-1，3]时，2x²-4x+3＞2x+2m+1，
∴2m＜2x²-6x+2，
即-1≤x≤3，m＜x²-3x+1，
∴m＜5．

点评：本题考查函数的解析式的求法二次函数的最值，函数的恒成立条件的应用，考查分析问题解决问题的能力．