Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函数．
（Ⅰ）求a值；
（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（Ⅲ）设关于x的函数F（x）=f（4^x-b）+f（-2^x+1）有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数是奇函数，由f（0）=0，即可求a值；
（Ⅱ）利用函数单调性定义判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（Ⅲ）利用函数的奇偶性和函数零点的定义，求b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为R且为奇函数，
∴f（0）=

a-1

2

=0，解得a=1，经检验符合．
（Ⅱ）∵f(x)=

-2x+1

2x+1

=-1+

2

2x+1

，f（x）在R上位减函数
证明：设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=-1+

2

2x1+1

-(-1+

2

2x2+1

)=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，（∵2x2＞2x1）
∴f（x）在R上是减函数．
（Ⅲ）由F（x）=0，
得f（4^x-b）+f（-2^x+1）=0，
∵函数f（x）是奇函数
∴f（4^x-b）=f（2^x+1）
即4^x-b=2^x+1有解，
∴b=4^x-2^x+1=（2^x）²-2•2^x≥-1，
∴实数b的取值范围是b≥-1

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．