Question

【题目】如图所示的空间几何体中，四边形是边长为2的正方形， 平面， ， ， ， .

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（I）连接交于点，根据正方形的对角线有 ，设的中点分别为，连接，得，连接，利用平行证得，而，所以平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面与平面的法向量，并由此计算二面角的余弦值.

试题解析：

（1）证明：连接交于点，则

设， 的中点分别为， ，连接，则∥，

连接， ，则∥且 ，所以∥，所以∥

由于平面，所以

所以， ，所以平面

所以平面平面

（2）解法一：∵∥，∴∥

∴平面与平面所成的锐二面角即为平面与平面所成的锐二面角

连接，∵平面， ∴

∴为平面与平面所成二面角的一个平面角

∵， ∴

∴

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为

解法二：建立如图所示空间直角坐标系，

则，

依题意为平面的一个法向量，

设为平面的一个法向量，则

即令，

则，所以

设平面与平面所成的锐二面角为，则

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为