【题目】已知椭圆(
)的离心率为
,
分别是它的左、右焦点,且存在直线
,使
关于
的对称点恰好是圆
(
)的一条直线的两个端点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与抛物线
(
)相交于
两点,射线
,
与椭圆
分别相交于点
,试探究:是否存在数集
,当且仅当
时,总存在
,使点
在以线段
为直径的圆内?若存在,求出数集
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由圆的方程配方得半径为2,由题设知,椭圆的焦距
等于圆
的直径,所以
,又
,可得椭圆方程.
(2)由题可得直线是线段
的垂直平分线,由
方程与
,联立可得:
,
.又点
在以线段
为直径的圆内即
,
试题解析:(1)将圆的方程配方得:
,所以其圆心为
,半径为2,由题设知,椭圆的焦距
等于圆
的直径,所以
,
又,所以
,从而
,故椭圆
的方程为
.
(2)因为产于
的对称点恰好是圆
的一条直径的两个端点,所以直线
是线段
的垂直平分线(
是坐标原点),故
方程为
,与
,联立得:
,由其判别式
得
①.
设,
,则
,
,
从而,
.
因为的坐标为
,
所以,
,
注意到与
同向,
与
同向,所以
点在以线段
为直径的圆内
,所以
即
代入整理得②
当且仅当即
时,总存在
,使②成立.
又当时,由韦达定理知方程
的两根均为正数,故使②成立的
,从而满足①.
故存在数集,当且仅当
时,总存在
使点
在以线段
为直径的圆内.
点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及点在以线段
为直径的圆内
,坐标化求解即可.
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【题目】某小学为了解本校某年级女生的身高情况,从本校该年级的学生中随机选出100名女生并统计她们的身高(单位: ),得到如图频率分布表:
分组(身高) | ||||
(Ⅰ)用分层抽样的方法从身高在和
的女生中共抽取6人,则身高在
的女生应抽取几人?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的6人中,再随机抽取2人,求这2人身高都在内的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,隔河看两目标A、B,但不能到达,在岸边选取相距 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校的特长班有50名学生,其中有体育生20名,艺术生30名,在学校组织的一次体检中,该班所有学生进行了心率测试,心率全部介于50次/分到75次/分之间,现将数据分成五组,第一组,第二组
,…,第五组
,按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为
.
(Ⅰ)求的值,并求这50名同学心率的平均值;
(Ⅱ)因为学习专业的原因,体育生常年进行系统的身体锻炼,艺术生则很少进行系统的身体锻炼,若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名,该学生是体育生的概率为0.8,请将下面的列联表补充完整,并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关?说明你的理由.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式: ,其中
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合计 | |
体育生 | 20 | ||
艺术生 | 30 | ||
合计 | 50 |
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【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等极如下表:
质量指标值 | |||
等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:
(1)根据以上抽样调查数据 ,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定?
(2)在样本中,按产品等极用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足
,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若圆上有四个不同的点到直线
的距离为2,则
的取值范围是( )
A. (-12,8) B. (-8,12) C. (-13,17) D. (-17,13)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知平面向量 =(1,x),
=(2x+3,﹣x)(x∈R).
(1)若 ∥
,求|
|
(2)若 与
夹角为锐角,求x的取值范围.
(3)若| |=2,求与
垂直的单位向量
的坐标.
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