Question

6．已知点A（2，0），抛物线y=x²-4上另外存在两点B，C，使得AB⊥BC，则点C的横坐标x₂的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]∪[4，+∞）
• B． （-∞，-1]∪[2，+∞）
• C． [-1，2]
• D． （-∞，0]∪[1，+∞）

Answer 1

分析 设 B（x₁，x₁²-4），C（x₂，x₂²-4）根据AB⊥BC，表示出两直线的斜率相乘得-1，进而可得关于x₂的一元二次方程，根据判别式大于等于0求得x₂范围．

解答 解：由于B、C在抛物线上，故可设 B（x₁．x₁²-4），C（x₂．x₂²-4）
∵AB⊥BC，
∴x₁≠2，x₂≠2，x₁≠x₂
∴$\frac{{x}_{1}^{2}-4}{{x}_{1}-2}•\frac{{（x}_{1}^{2}-4）-（{x}_{2}^{2}-4）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1，
即（x₁+2）（x₁+x₂）=-1．
即x₁²+（x₂+2）x₁+（2x₂+1）=0
∵x₁∈R，
∴△=（x₂+2）²-4（2x₂+1）≥0，
即x²₂-4x₂≥0．
解得x₂≤0，x₂≥4
解得：x₂≤0或x₂≥4．
故选：A

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．