Question

16．若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x²的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{16}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$．

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程，得到双曲线的实半轴的长，利用双曲线的渐近线方程，求解即可．

解答 解：抛物线y=x²的准线：y=-$\frac{1}{4}$，
双曲线与抛物线y=x²的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为a=$\frac{1}{4}$，焦点在y轴上．
双曲线的一条渐近线为x+2y=0，∴$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$，
可得b=$\frac{1}{2}$，
则此双曲线的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{16}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{16}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$．

点评 本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．