Question

7．已知集合$A=\left\{{x\left|{y=\frac{{\sqrt{x-3}}}{{\sqrt{6-x}}}}\right.}\right\}$，B={x|2＜x＜9}．
（1）分别求：∁_R（A∩B），（∁_RB）∪A；
（2）已知C={x|2a＜x＜a+3}，若C⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，根据交集、补集与并集的定义进行计算即可；
（2）根据题意，讨论C=∅和C≠∅时，求出对应a的取值范围．

解答 解：（1）集合$A=\left\{{x\left|{y=\frac{{\sqrt{x-3}}}{{\sqrt{6-x}}}}\right.}\right\}$
={x|$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{6-x＞0}\end{array}\right.$}
={x|3≤x＜6}，
B={x|2＜x＜9}，
∴A∩B={x|3≤x＜6}，
∴C_R（A∩B）={x|x＜3或x≥6}；
C_RB={x|x≤2或x≥9}，
∴（C_RB）∪A={x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}；
（2）当C=∅时，2a≥a+3，解得a≥3；
当C≠∅时，$\left\{\begin{array}{l}2a≥2\\ a+3≤9\\ 2a＜a+3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a≤6\\ a＜3\end{array}\right.$，
即1≤a＜3；
综上，a≥1．

点评 本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．