Question

19．已知函数f（x）=-x²+ax+b的值域为（-∞，0]，若关x的不等式$f（x）＞-\frac{c}{4}-1$的解集为（m-4，m+1），则实数c的值为21．

Answer 1

分析 根据题意，△=a²+4b=0；m-4与m+1为方程x²-ax-b-$\frac{c}{4}$-1=0的两根；函数y=x²-ax-b-$\frac{c}{4}$-1的对称轴为x=$\frac{a}{2}$=$\frac{m+1-（m-4）}{2}$=$\frac{5}{2}$；可求出a，m的值，再求c．

解答 解：由题意，函数f（x）=-x²+ax+b的值域为（-∞，0]，
∴△=a²+4b=0  ①；
由不等式$f（x）＞-\frac{c}{4}-1$ 化简：x²-ax-b-$\frac{c}{4}$-1＜0
m-4与m+1为方程x²-ax-b-$\frac{c}{4}$-1=0的两根；
m-4+m+1=a  ②；
（m-4）（m+1）=-b-$\frac{c}{4}$-1  ③；
函数y=x²-ax-b-$\frac{c}{4}$-1的对称轴为x=$\frac{a}{2}$=$\frac{m+1-（m-4）}{2}$=$\frac{5}{2}$；
所以 a=5；
由①②知：m=4，b=-$\frac{25}{4}$；
由③知：c=21
故答案为：21

点评 本题主要考查了不等式方程组解与二次函数根的关系，以及二次函数的图形特征，属中等题．