Question

17．变量x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{3x+5y-25≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$
（1）设z=$\frac{y}{x-1}$，求z的取值范围；
（2）设z=x²+y²，求z的最小值．

Answer 1

分析 （1）z的几何意义是区域内的点与定点（1，0）的斜率，利用斜率进行求解即可．
（2）z的几何意义是两点间的距离的平方，利用距离公式进行求解即可．

解答 解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图，
z=$\frac{y}{x-1}$的几何意义是区域内的点与定点D（1，0）的斜率，
由图象知CD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3=0}\\{3x+5y-25=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（5，2），
则CD的斜率k=$\frac{2}{5-1}=\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
即z的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（2）z的几何意义是两点间的距离的平方，
由图象知OA的距离最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-4y+3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
则z的最小值为z=1²+1²=2．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据直线斜率和两点间的距离公式是解决本题的关键．注意利用数形结合的数学思想进行求解．