Question

（1）已知：实数a、b、c满足a+b+c=1，求证：a、b、c中至少有一个数不大于

1

3

．
（2）已知：实数a、b、c满足a+b+c=2013，求证：a、b、c中至少有一个数不小于671．
（3）根据（1）（2）请猜想一般性的结论并证明．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法

分析：根据题意，通过反证法假设结论不成立，通过得出与已知a+b+c=1矛盾，可得结论．

解答： 解：（1）假设a、b、c都大于

1

3

，则a+b+c＞1，这与已知a+b+c=1矛盾．
故a、b、c中至少有一个不大于

1

3

．…（3分）
（2）假设a、b、c都小于671，则a+b+c＜2013，这与已知a+b+c=2013矛盾．
故a、b、c中至少有一个不小于671． …（6分）
（3）猜想：实数a、b、c满足a+b+c=d，则a、b、c中至少有一个数不大于

d

3

且至少有一个不小于

d

3

．…（9分）
证明：一方面：假设a、b、c都大于

d

3

，则a+b+c＞d，这与已知a+b+c=d矛盾．
故a、b、c中至少有一个不大于

d

3

．
另一方面：假设a、b、c都小于

d

3

，则a+b+c＜d，这与已知a+b+c=d矛盾．
故a、b、c中至少有一个不小于

d

3

．  …（12分）
即猜想的结论成立．

点评：本题考查反证法的应用，涉及不等式的证明，属于中档题．