Question

过抛物线y²=4x的顶点作射线OA，OB与抛物线交于A，B，若

OA

•

OB

=2，求证：直线AB过定点．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线AB方程，代入抛物线方程y²=4x，得ky²-4y+4m=0，利用韦达定理，结合

OA

•

OB

=2，求出AB的方程，即可证明直线AB过定点．

解答： 解：设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
y=kx+m代入抛物线y²=4x，即：ky²-4y+4m=0--------------（2分）
y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

4m

k

-------------------------------------------（3分）
∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=2，
∴m²+4km-2k²=0---------------------------------（7分）
∴m=（2±

6

）k，
直线AB的方程：y=k（x-2-

6

），或y=y=k（x-2+

6

），---------------（9分）
∴直线AB过定点M（2+

6

，0），或N（2-

6

，0）----------------------------（10分）

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，证明直线AB必过定点时，要熟练掌握其中设而不求的解题思想．