Question

已知函数f(x)=sin(

7π

6

-2x)+2cos2x-1(x∈R)．
（I）求函数f（x）的周期及单调递增区间；
（II）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点(A，

1

2

)经过函数f（x）的图象，b，a，c成等差数列，且

AB

•

AC

=9，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+

π

6

），由此求得周期的值，再令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
（II）在△ABC中，由f（A）=sin（2A+

π

6

）=

1

2

，求得A=

π

3

．再由 b，a，c成等差数列，求得bc=18，再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA 求得a的值．

解答：解：（I）∵函数f（x）=sin(

7π

6

-2x)+2cos2x-1=sin

7π

6

cos2x-cos

7π

6

sin2x+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）．
故函数f（x）的周期为T=

2π

2

=π．
再令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（II）在△ABC中，由题意可得f（A）=sin（2A+

π

6

）=

1

2

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

．
再由 b，a，c成等差数列，可得2a=b+c，再由

AB

•

AC

=9 可得 bc•cosA=9，∴bc=18．
再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=4a²-3×18，解得 a²=18，
∴a=3

2

．

点评：题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性、单调性和求法，余弦定理以及等差数列的性质应用，属于中档题．