Question

已知函数f(x)=ax2-ln

x+1

，g(x)=x3
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=

1

2

时，证明：对x∈（0，1）时，不等式2f（x）＜g（x）成立；
（3）当n≥2，，n∈N^*证明：ln

3

2

•ln

4

3

…ln

n+1

n

＜

1

n

•

1

(n!)2

．

Answer 1

解（1）f′(x)=

4ax2+4ax-1

2(x+1)

（x＞-1），△=16a（a+1），
①-1≤a≤0时，△＜0，f′（x）＜0，单调减区间（-1，+∞）；
②a＞0时，△＞0，单调减区间(-1，

-a+ a2+a

2a

)；增区间(

-a+ a2+a

2a

，+∞)；
③a＜-1时，△＞0，单调减区间(-1，

-a+ a2+a

2a

)∪(

-a- a2+a

2a

，+∞)；增区间(

-a+ a2+a

2a

，

-a- a2+a

2a

)；
（2）设h（x）=2f（x）-g（x）=x²-ln（x+1）-x³，h′(x)=

-(x-1)2-x3

x+1

＜0，
所以h（x）＜h（0）=0，即2f（x）＜g（x），
（3）由（2）ln（x+1）＜x²-x³，
令x=

1

n

∈(0，1)，则ln(

1

n

+1)＜(

1

n

)2-(

1

n

)3=

n-1

n

•(

1

n

)2，
同理ln(

1

n-1

+1)＜

n-2

n-1

•(

1

n-1

)2，…，ln(

1

2

+1)＜

1

2

•(

1

2

)2，累乘即得证．