Question

已知点F是抛物线Γ：x²=2py（p＞0）的焦点，点M（x₀，1）到F的距离为2．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）设直线AB：y=x+b与曲线Γ相交于A，B两点，若AB的中垂线与y轴的交点为（0，4），求b的值．
（Ⅲ）抛物线Γ上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件利用抛物线定义知：1+

p

2

=2，由此能求出抛物线方程．
（Ⅱ） 由

y=x+b x2=4y

，得x²-4x-4b=0，△=16-16b＞0，x₁+x₂=4，由此求出AB的中垂线为y=-x+4-b，从而能求出b=0．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知A（0，0），B（4，4），假设抛物线L上存在异于点A、B的点C(t，

t2

4

)，t≠0满足题意，令圆的圆心为N（a，b），则

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

，由此能求出存在点C，且坐标为（-2，1）．

解答： 解：（Ⅰ）∵F是抛物线Γ：x²=2py（y＞0）的焦点，
∴F（

p

2

，0），
∵点M（x₀，1）到F的距离为2，
∴依抛物线定义知：1+

p

2

=2，解得p=2，
∴抛物线为x²=4y----（3分）
（Ⅱ） 由

y=x+b x2=4y

，得x²-4x-4b=0，
∴△=16-16b＞0，x₁+x₂=4，
∴AB的中点为（2，2+b），∴AB的中垂线为

y-(2+b)

x-2

=-1，即y=-x+4-b，
依题意可知（0，4）在垂线上，
∴4=0+4-b，解得b=0．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知A（0，0），B（4，4），
假设抛物线L上存在异于点A、B的点C(t，

t2

4

)，t≠0满足题意，
令圆的圆心为N（a，b），
则由

NA=NB NA=NC

，得

a2+b2=(a-4)2+(b-4)2 a2+b2=(a-t)2+(b- t2 4 )2

，
整理，得

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t2

，解得

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

，（10分）
∵抛物线L在点C处的切线斜率k=y′|x=t=

t

2

，（t≠0），（11分）
又该切线与NC垂直，∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1，整理，得2a+bt-2t-

1

4

t3=0，
∴2(-

t2+4t

8

)+t•

t2+4t+32

8

-2t-

1

4

t3=0，
整理，得t³-2t²-8t=0，
∵t≠0，t≠4，∴t=-2．故存在点C，且坐标为（-2，1）．（13分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查实数的求法，考查满足条件的点是否存在 判断与求法，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．