Question

如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，垂足分别是D、E，则以A、B为焦点且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则

1

e1

+

1

e2

的值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意设出AB，进而根据椭圆的定义可求得a和c的关系式，求得椭圆的离心率；利用双曲线的性质，求得a和c关系，求得双曲线的离心率，然后求得二者离心率倒数和．

解答： 解：设|AB|=2c，则在椭圆中，有c+

3

c=2a，
∴

1

e1

=

a

c

=

1+ 3

2

，
而在双曲线中，有

3

c-c=2a，
∴

1

e2

=

a

c

=

3 -1

2

，
∴

1

e1

+

1

e2

=

1+ 3

2

+

3 -1

2

=

3

．
故答案为：

3

．

点评：题给出椭圆、双曲线满足的条件，求它们的离心率之和．着重考查了解直角三角形、椭圆和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．