Question

3．设函数f（x）=$\frac{3x}{ln2x}$．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知不等式2^x＞（2x）^a对任意x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，根据导数符号便可找出f（x）的单调减区间；
（2）根据2^x＞（2x）^a及x的范围便可得到$a＜\frac{x}{lo{g}_{2}2x}$，从而得到$a＜\frac{ln2•x}{ln2x}$，可设g（x）=$\frac{ln2•x}{ln2x}$，根据导数可以求出g（x）的最小值，从而便得出a＜g（x）_min，即得出a的取值范围．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{3（ln2x-1）}{l{n}^{2}2x}$；
∴0＜2x＜1，或1＜2x＜e＜e，即$0＜x＜\frac{1}{2}，或\frac{1}{2}＜x＜\frac{e}{2}$时，f′（x）＜0，$x＞\frac{e}{2}$时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）的单调减区间为$（0，\frac{1}{2}）$，$（\frac{1}{2}，\frac{e}{2}）$；
（2）由2^x＞（2x）^a，$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$得，x＞alog₂2x，∴$a＜\frac{x}{lo{g}_{2}2x}$；
即$a＜\frac{ln2•x}{ln2x}$；
设$g（x）=\frac{ln2•x}{ln2x}$，$g′（x）=\frac{ln2（ln2x-1）}{l{n}^{2}2x}$；
∴1＜2x＜e时，g′（x）＜0，2x＞e时，g′（x）＞0；
∴2x=e，即x=$\frac{e}{2}$时，g（x）取最小值$\frac{e}{2lo{g}_{2}e}$；
∴$a＜\frac{e}{2lo{g}_{2}e}$；
∴实数a的取值范围为（-∞，$\frac{e}{2lo{g}_{2}e}$）．

点评 考查根据导数判断函数单调性，求函数单调区间的方法，对数的运算，对数的换底公式，以及对数函数的单调性，根据导数求函数最小值的方法和过程，注意正确求导．