[题目]设.为三维空间中个点组成的有限集.其中任意四点不在一个平面上.将集合中的点染成白色或黑色.使得任意一个与集合至少交于四个点的球面具有这样的性质:这些交点中恰有一半的点为白色的.证明:集合中所有的点均在一个球面上. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】设，为三维空间中个点组成的有限集，其中任意四点不在一个平面上，将集合中的点染成白色或黑色，使得任意一个与集合至少交于四个点的球面具有这样的性质：这些交点中恰有一半的点为白色的.证明：集合中所有的点均在一个球面上，

【答案】见解析

【解析】

定义：为

由已知条件，知，其中，表示至少经过集合的四个点的任一球面.

对于集合中任意的三个不同的点、、，

用表示经过点、、且还至少经过集合中的另一个点的所有球面组成的集合，表示这些球面的个数.

故.①

这是因为、、的值出现次，而其他的值只出现一次.

若存在三个点使得，则结论得证.

若对集合M中任意的三个不同的点、、，，先证明.

假设.则由式①知，所有的的组合共有种.

对所有的这些可能求和有，这与假设矛盾.

同理，若，也会推出矛盾.

接下来，由及式①，得出对集合中任意的三个不同的点、、，有.

取另一个点，得到下列等式：

，，

，.

由此，容易推出，这与的定义矛盾.

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