Question

3．实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y≥0}\\{2x-y-2≥0}\end{array}\right.$，求z=$\frac{y+x}{x+1}$的取值范围．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域z=$\frac{y+x}{x+1}$=$\frac{y-1+x+1}{x+1}$=1+$\frac{y-1}{x+1}$，设k=$\frac{y-1}{x+1}$，利用k的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
由z=$\frac{y+x}{x+1}$=$\frac{y-1+x+1}{x+1}$=1+$\frac{y-1}{x+1}$，
设k=$\frac{y-1}{x+1}$，则k的几何意义是区域内的点到点D（-1，1）的斜率，
由图象知DA的斜率最小，此时A（1，0），此时k=$\frac{0-1}{1+1}$=$-\frac{1}{2}$，
当过D的直线和BC：y=x平行时，此时k=1，
即$-\frac{1}{2}$≤k＜1，
则1$-\frac{1}{2}$≤k+1＜1+1，
即$\frac{1}{2}$≤z＜2，
即z=$\frac{y+x}{x+1}$的取值范围是$\frac{1}{2}$≤z＜2．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据条件结合分式不等式的性质进行转化，利用直线斜率的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．