Question

8．非零向量（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 运用向量垂直的条件：数量积为0，可得2$\overrightarrow{a}$²+5$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3$\overrightarrow{b}$²=0，①，2$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=0，②，再求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的模，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），可得
（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
即为2$\overrightarrow{a}$²+5$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3$\overrightarrow{b}$²=0，①
（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
可得（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
即为2$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=0，②
由①②解得，$\overrightarrow{b}$²=8$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{a}$²=$\frac{19}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\sqrt{8\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}•（\frac{19}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）}}$=$\frac{\sqrt{19}}{38}$．

点评 本题考查向量垂直的条件：数量积为0，向量的平方即为模的平方，考查向量的夹角公式的运用，属于中档题．