Question

17．如图所示为函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在一个周期内的图象．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）的图象是将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到的，求函数g（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）设0＜x＜π，且h（x）=f（x）-m有两个不同的零点，求实数m的取值范围和这两个零点的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过函数的图象求出A，图象过（0，1）点，求出φ，利用图象求出函数的周期，得到ω，即可求出函数的解析式；
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数g（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）设0＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，通过函数的图象结合函数的对称轴，直接求实数m的取值范围和这两个根的和．

解答 解：（Ⅰ）由图知，A=2，
当x=0时，y=2sinφ=1，解得：sinφ=$\frac{1}{2}$，可得：φ=2kπ$+\frac{π}{6}$，或φ=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
又函数经过（$\frac{11π}{12}$，0），即：2sin（$\frac{11π}{12}$ω+$\frac{π}{6}$）=0，解得：$\frac{11π}{12}$ω+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得ω=$\frac{12k}{11}-\frac{2}{11}$，k∈Z，
由图象结合“五点法”可知（$\frac{11π}{12}$，0）对应函数y=sinx图象的点（2π，0），即当k=2时，可得：ω=2，
∴此函数的f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）∵g（x）的图象是将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到的，
∴g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数g（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅲ）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和y=m（m∈R）的图象，
由图可知，当-2＜m＜1或1＜m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．
∴m的取值范围为：-2＜m＜1或1＜m＜2；
当-2＜m＜1时，两根和为$\frac{4π}{3}$；
当1＜m＜2时，两根和为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求φ与ω是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．