Question

16．已知函数f（x）=$\frac{5}{4}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{4}$sin²x．
（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=$\frac{3}{5}$，f（C）=-$\frac{1}{4}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）取得最大值时x的集合．
（Ⅱ）由条件求得cos（2C+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C=$\frac{π}{3}$，求出sinB的值，再根据sinA=sin（B+C）求得它的值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{5}{4}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{4}$sin²x=cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{1}{4}$（cos²x-sin²x ）
=$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
故函数取得最大值为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，此时，2x+$\frac{π}{6}$=2kπ时，即x的集合为 {x|x=kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z}．
（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=$\frac{3}{5}$，f（C）=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2C+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$，
∴cos（2C+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
∵cosB=$\frac{3}{5}$，∴sinB=$\frac{4}{5}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题．