Question

4．动圆P与直线l：x=-1相切，且与圆（x-2）²+y=1相外切，设动圆C的圆心的轨迹为C，过点（8，0）的直线m与C相交于A、B两点．
（1）求轨迹C的方程；
（2）设O为坐标原点，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），F（2，0），利用动圆P与直线l：x=-1相切，且与圆（x-2）²+y=1相外切，可得|PF|-（x+1）=1，由此能求出圆心的轨迹C的方程．
（2）分类讨论，直线与抛物线方程联立，证明x₁x₂+y₁y₂=0即可．

解答 （1）解：设P（x，y），F（2，0）
∵动圆P与直线l：x=-1相切，且与圆（x-2）²+y=1相外切，
∴|PF|-（x+1）=1，
∴|PF|=x+2，∴$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=x+2，
整理，得y²=8x．
∴圆心P的轨迹C方程为y²=8x．
（2）证明：斜率不存在时，方程为x=8，代入y²=8x，可得y=±8，
∴A（8，8），B（8，-8），
∴8×8+8×（-8）=0，
∴OA⊥OB；
斜率存在时，设直线m的方程为y=k（x-8），
代入y²=8x，消去y得，k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
得x₁+x₂=16+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=64．
∴y₁y₂=k²（x₁-8）（x₂-8）=-64
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB．
综上，OA⊥OB．

点评 本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．